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【题目】设a为实数,函数f(x)=x|x﹣a|.
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)当0≤x≤1时,求f(x)的最大值.

【答案】
(1)解:由题意可知函数f(x)的定义域为R.

当a=0时f(x)=x|x﹣a|=x|x|,为奇函数.

当a≠0时,f(x)=x|x﹣a|,

f(1)=|1﹣a|,f(﹣1)=﹣|1+a|,

f(﹣x)≠f(x)且f(﹣x)≠﹣f(x),

∴此时函数f(x)为非奇非偶函数


(2)解:若a≤0,则函数f(x)=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数,

∴函数f(x)的最大值为f(1)=|1﹣a|=1﹣a,

若a>0,由题意可得f(x)=

由于a>0且0≤x≤1,结合函数f(x)的图象可知,

,即a≥2时,f(x)在[0,1]上单调递增,

∴f(x)的最大值为f(1)=a﹣1;

时,f(x)在[0, ]上递增,在[ ,a]上递减,

∴f(x)的最大值为f( )=

,即 时,

f(x)在[0, ]上递增,在[ ,a]上递减,在[a,1]上递增,

∴f(x)的最大值为f(1)=1﹣a


【解析】(1)先得出函数f(x)的定义域为R,对a分类讨论,结合函数的奇偶性的定义可得结果,(2)当a≤0时,f(x)=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数,此时最大值为f(x)=1-a,当a>0时,对二次函数进行定区间讨论得出最大值.
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值即可以解答此题.

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