Question

在如图所示的平面直角坐标系中，三角形AOB是腰长为2的等腰直角三角形，动点P与点O位于直线AB的两侧，且∠APB=

3

4

π．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周长的最大值及此时P点得坐标．

Answer 1

分析：（1）在等腰直角三角形AOB中，利用正弦定理求出点P在以AB为弦，半径为2的圆弧上，点P位于直线AB的两侧，因此点P的轨迹方程是以O为圆心，半径为2，夹在∠AOB内的圆弧（端点除外），从而求出点P的轨迹方程；
（2）设P（2cosα，2sinα）（α∈（0，

π

2

））则△OHP的周长l=2+2cosα+2sinα，然后利用辅助角公式进行化简变形即可求出最大值，以及取最大值时点P的坐标．

解答：解：（1）在等腰直角三角形AOB中，AB=2

2

因为

AB

sin 3π 4

=

2 2

2 2

=4
因此，点P在以AB为弦，半径为2的圆弧上．
又因OA=OB=2，点P位于直线AB的两侧，因此点P的轨迹方程是以O为圆心，半径为2，夹在∠AOB内的圆弧（端点除外）
所以点P的轨迹方程为x²+y²=4（x＞0，且y＞0）
（2）设P（2cosα，2sinα）（α∈（0，

π

2

））则
△OHP的周长l=2+2cosα+2sinα
=2+2

2

sin（α+

π

4

）
所以，当α=

π

4

时，△OHP的周长l取最大值2+2

2

，此时P（

2

，

2

）

点评：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及轨迹方程，同时考查了辅助角公式，同时考查了计算求解的能力，属于难题．