Question

开口向下的抛物线y=ax²+bx（a＜0，b＞0）在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S=

b3

6a2

．
（1）求a与b的关系式，并用b表示S（b）的表达式；
（2）求使S（b）达到最大值的a、b值，并求S_max．

Answer 1

分析：（1）直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，即它们有唯一的公共点，联立方程，利用判别式必须为0，确定a与b的关系式，代入S=

1

6a2

b3，即可用b表示S（b）的表达式；
（2）求导数，确定函数的单调性，可求函数的极值与最值，即可得到结论．

解答：解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且a＜0，b＞0，
直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组

x+y=4 y=ax2+bx

得ax²+（b+1）x-4=0，其判别式必须为0，即（b+1）²+16a=0．
∴a=-

1

16

(b+1)2，代入S=

1

6a2

b3得：S(b)=

128b3

3(b+1)4

，(b＞0)；
（2）S′(b)=

128b2(3-b)

3(b+1)5

；
令S'（b）=0，在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0，
故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，
即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=

9

2

．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．