Question

已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列命题：
①

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

；       ②

OM

=

OA

-

OB

+

OC

；
③

OM

=

OA

+2

OB

+

AC

；          ④

OM

=2

OA

+

OB

+

AC

．
其中，能推出M，A，B，C四点共面的是（　　）

A．①②

B．①③

C．②④

D．①④

Answer 1

分析：根据向量共面的充要条件，若由M、A、B、C作为起点或终点，构成的向量中的其中某一个能被其它至多两个向量线性表示，则M、A、B、C四点共面．由此对①、②、③、④各项依次加以判别，即可得到本题答案．

解答：解：对于①，由

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

得
3

OM

=

OA

+

OB

+

OC

，整理可得

AM

=

MB

+

MC

向量

AM

可以由向量

MB

、

MC

线性表示，所以

AM

、

MB

、

MC

是共面的向量
因此，由①可以推出M、A、B、C四点共面，得①正确；
对于②，由

OM

=

OA

-

OB

+

OC

得

CM

=

BA

，
向量

CM

与

BA

是共线的向量，必定是共面的向量，
因此，由②可以推出M、A、B、C四点共面，得②正确；
同理，由③、④推不出由M、A、B、C构成的向量共面，
故③、④都不能推出M、A、B、C四点共面．
综上所述，符合题意的条件是①②
故选：A

点评：本题给出几个向量表示式，要我们找出符合四点共面的条件，着重考查了空间向量共面的充要条件和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于基础题．