Question

已知单调递增的等比数列a_n满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中项，则数列a_n的前n项和S_n=

 

．

Answer 1

分析：先设出等比数列的首项和公比，然后利用等比数列的通项公式化简a₂+a₃+a₄=28得到①，根据a₃+2是a₂、a₄的等差中项列出式子化简得②，联立①②可解出a和q，然后根据等比数列的前n项和的公式求出即可．

解答：解：设出等比数列的首项为a，公比为q，则a_n=aqⁿ，
因为a₂+a₃+a₄=28得到aq+aq²+aq³=28①；又a₃+2是a₂、a₄的等差中项得到2（aq²+2）=aq+aq³②．
由①得：aq（1+q+q²）=28③，由②得：aq²=8，aq+aq³=20即aq（1+q²）=20④
③④两边相除得：

1+q+q2

1+q2

=

7

5

，化简得：2q²-5q+2=0即（2q-1）（q-2）=0，所以q=

1

2

或q=2，
因为此数列为单调递增数列，所以q=2，代入①求得a=2，
则数列a_n的前n项和S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
答案为2ⁿ⁺¹-2

点评：此题是一道综合题，要求学生会根据题中的两个条件列出关于首项和公比的方程并求出解，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值．