Question

设函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），给出下述命题：
①f（x）有最小值；     
②当a=0时，f（x）的值域为R；        
③f（x）有可能是偶函数；
④若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[-4，+∞）；
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），是一个对数型复合函数，外层是递增的对数函数，内层是一个二次函数．故可依据两函数的特征来对下面几个命题的正误进行判断．

解答：解：①f（x）有最小值一定不正确，
因为定义域不是实数集时，函数f（x）=lg（x²+ax-a-1）的值域是R，无最小值，
题目中不能排除这种情况的出现，故①不对．
②当a=0时，f（x）的值域为R是正确的，
因为当a=0时，函数的定义域不是R，即内层函数的值域是（0，+∞），
故（x）的值域为R，故②正确．
③当a=0时，f（x）=lg（x²-1），f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，故③正确；
④若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，
则实数a的取值范围是a≥-4．是不正确的，
由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，可得内层函数的对称轴-

a

2

≤2，
可得a≥-4，由对数式有意义可得4+2a-a-1＞0，解得a＞-3，
故由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，应得出a＞-3，故④不对．
故答案为：②③

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点、对数函数的定义和值域、偶函数及复合函数的单调性，是一道函数的综合应用题，其中④中易忽略真数部分必须大于0，而错判为真命题．