Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．
（1）求证：C′E⊥平面BCE；
（2）若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在矩形A′ACC′中，E为A′A中点且AA′=2AC，

∴EA=AC，EA′=A′C′，

∴∠AEC=∠A′EC=45°，

∴C′E⊥EC，

∵C′E⊥BE，CE∩BE=E，

∴C′E⊥平面BCE；

（2）解：∵B′C′∥BC，B′C′平面BCE，BC平面BCE，

∴B′C′∥平面BCE，

∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB，

∵C′E⊥平面BCE，

∴C′E⊥BC，

∵BC⊥CC′，C′E∩CC′=C′，

∴BC⊥平面ACC′A′′∴BC⊥CE，

∵AC=2，

∴BC=2，EC=EC′=2 ，

∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB= =

【解析】（1）证明C′E⊥EC，利用C′E⊥BE，CE∩BE=E，即可证明C′E⊥平面BCE；（2）利用等体积转化求三棱锥B′﹣ECB的体积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．