Question

如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

分析：（1）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=

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AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；

解答：解：（1）连接AF，∵底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，F分别是线段BC的中点，
∴AF=DF=

2

，
∴AF²+DF²=AD²，∴AF⊥DF，
又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴PA⊥DF，
又PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF，PF?平面PAF，
∴PF⊥FD；
（2）取AD的中点O，连接OB，
则OB∥FD，过点E作EH∥FD交AD于点H，
则EH∥平面PFD，
∵E为AB的中点，
∴AH=

1

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AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
又GH∩EH=H，∴平面GEH∥平面PFD，
∵EG?平面GEH，
∴EG∥平面PFD．从而确定G点位置；

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质及线面平行的判定，解答本题的关键是作出平面PFD的平行平面．