Question

（2008•浦东新区一模）关于x的方程k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是

[5，6]

．

Answer 1

分析：换元：令t=2^x，则t∈[1，2]，原方程化为k•t²-2k•t+6（k-5）=0，根据题意，问题转化为此方程在[1，2]上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论．

解答：解：令t=2^x，则t∈[1，2]，
∴方程k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）=0，化为：k•t²-2k•t+6（k-5）=0，
根据题意，此关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，
整理，得：方程k（t²-2t+6）=30，当t∈[1，2]时存在实数解
∴k=

30

t 2-2t+6

，当t∈[1，2]时存在实数解

∵t²-2t+6=（t-1）²+5∈[5，6]
∴k=

30

t 2-2t+6

∈[

30

6

，

30

5

] =[5，6]
故答案为[5，6]

点评：本题以指数型二次方程为例，考查了根的存在性及函数零点的知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离思路的应用，它可以化繁为简、化难为易．