Question

7．求下列各式的值：
（1）（2-1）+（2²+2）+（2³-3）+…+[2ⁿ+（-1）ⁿn]；
（2）1+2x+4x²+6x³+…+2nxⁿ．

Answer 1

分析 （1）通过分类讨论，利用分组法求和即可；
（2）分x是否为1两种情况讨论，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）当n为奇数时，-1+2-3+…+（-1）ⁿn=$\frac{n-1}{2}$-n=-$\frac{n+1}{2}$，
当n为偶数时，-1+2-3+…+（-1）ⁿn=$\frac{n}{2}$，
又∵2+2²+2³+…+2ⁿ+=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
记S_n=（2-1）+（2²+2）+（2³-3）+…+[2ⁿ+（-1）ⁿn]，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-\frac{n+1}{2}-2，}&{n为奇数}\\{{2}^{n+1}+\frac{n}{2}-2，}&{n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）记S_n=1+2x+4x²+6x³+…+2nxⁿ，
则当x=1时，S_n=1+2+4+6+…+2n=1+2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n+1；
当x≠1时，xS_n=x+2x²+4x³+…+2nxⁿ⁺¹，
∴（1-x）S_n=1+x+2（x²+x³+…+xⁿ）-2nxⁿ⁺¹
=1+x+2•$\frac{{x}^{2}（1-{x}^{n-1}）}{1-x}$-2nxⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{1+x}{1-x}$+2•$\frac{{x}^{2}-{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$-$\frac{2n{x}^{n+1}}{1-x}$；
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+n+1，}&{x=1}\\{2•\frac{{x}^{2}-{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}+\frac{1+x-2n{x}^{n+1}}{1-x}，}&{x≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．