Question

【题目】设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（﹣1）=﹣1，且对任意a，b∈[﹣1，1]，当a≠b时，都有 ；
（1）解不等式f ；
（2）若f（x）≤m2﹣2km+1对所有x∈[﹣1，1]，k∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，

且对任意a，b∈[﹣1，1]，当a≠b时，都有 ，

∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，

又f ，

∴ ，解得：﹣ ＜x≤ ，

∴不等式f 的解集为{x|﹣ ＜x≤ }

（2）解：∵奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，且f（﹣1）=﹣1，

∴f（x）max=f（1）=﹣f（﹣1）=1，

故f（x）≤m2﹣2km+1对所有x∈[﹣1，1]，k∈[﹣1，1]恒成立m2﹣2km+1≥f（x）max=1，

∴m2﹣2km≥0恒成立（﹣1≤k≤1），

令g（k）=﹣2mk+m2，

则 ，即 ，解得：m≥2或m≤﹣2或m=0．

∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∪{0}

【解析】（1）f（x）在[﹣1，1]上是增函数，然后利用增函数的定义进行证明，将不等式结合函数的单调性进行转化，解得答案，（2）根据函数的单调性知f（x）最大值为f（1）=1，所以要使f（x）≤m2﹣2km+1对所有x∈[﹣1，1]，k∈[﹣1，1]恒成立，只需要m2﹣2km≥0恒成立（﹣1≤k≤1），进而得到实数m的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．