Question

设函数f（x）=x（x-1）²，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数G(a)=

F(a)

a

的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

Answer 1

分析：（1）求导，令f′（x）=0得x=

1

3

或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的单调性，确定函数f（x）的极值．
（2）由（1）知f（x）的单调性，以极值点为界，把a分成两类讨论，在两类分别求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，两个最小值最小者，即为所求．
（3）把连等式分成两个不等式x+m-g（x）≥0和f（x）-x-m≥0在（0，+∞）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t．

解答：解：（1）f′（x）=（x-1）²+2x（x-1）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），x＞0．令f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表
∴当x=

1

3

时，有极大值f（

1

3

）=

4

27

，当x=1时，有极小值f（1）=0．
（2）由（1）知：f（x）在（0，

1

3

]，[1，+∞）上是增函数，在[

1

3

，1]上是减函数，
①0＜a≤

1

3

时，F（a）=a（a-1）²，G（a）=（a-1）²≥

4

9

特别的，当a=

1

3

时，有G（a）=

4

9

，
②当

1

3

＜a≤1时，F（a）=f（

1

3

）=

4

27

，G（a）=

4 27

a

≥

4

27

特别的，当a=1时，有G（a）=

4

27

，
由①②知，当0＜a≤1时，函数G(a)=

F(a)

a

的最小值为

4

27

．
（3）由已知得h₁（x）=x+m-g（x）=2x²-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′1(x)=

(4x+1)(x-1)

x

，
∴x∈（0，1）时，h′₁（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h₁（x）＞0
∴x=1时，h′₁（x）取极小值，也是最小值，
∴当h₁（1）=m-t-1≥0，m≥t+1时，h₁（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同样，h₂（x）=f（x）-x-m=x³-2x²-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′₂（x）=3x（x-

4

3

），
∴x∈（0，

4

3

）时，h′₂（x）＜0，x∈（

4

3

，+∞），h′₂（x）＞0，
∴x=

4

3

时，h₂（x）取极小值，也是最小值，
∴h2(

4

3

)=-

32

27

-m≥0，m≤-

32

27

时，h₂（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-

32

27

，
∵实数m有且只有一个，∴m=-

32

27

，t=-

59

27

．

点评：本题了考查导数与极值的关系，若f（a）=0：a的左侧f'（x）＞0，a的右侧f'（x）＜0则a是极大值点；a的左侧f'（x）＜0，a的右侧f'（x）＞0则a是极小值点；求F（a）时，要分类讨论，在求参数的范围时，经过两次转化为求函数的最值，使问题得以解决．