Question

如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且.

（1）求证：；

（2）若异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问，先利用面面垂直的性质得到线面垂直垂直于圆所在的平面，再利用线面垂直的性质得到，而在圆内AB为直径，所以，利用线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得到结论；第二问，利用向量法，先根据已知条件中的垂直关系建立空间直角坐标系，得到有关点及向量的坐标，利用向量法中的公式，求出平面DCE和平面AEB的法向量，再利用夹角公式求夹角的余弦值.

试题解析：（1）∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴. 6分

(2)如图，

以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，

∴，∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为，

由，得，，取，得.

∴.又平面的一个法向量为，∴.

平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 13分

（其他解法可参考给分）

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法.