Question

4．数列{a_n}中，a₃=1，a₅=1，如果数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差数列，则a₁₁=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{11}$
• C． -$\frac{1}{13}$
• D． -$\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 推导出数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}的公差d=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{5}+1}-\frac{1}{{a}_{3}+1}$）=0，再求出$\frac{1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出a₁₁．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₃=1，a₅=1，数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差数列，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}的公差d=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{5}+1}-\frac{1}{{a}_{3}+1}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$）=0．
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{{a}_{3}+1}-2×0$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{11}+1}=\frac{1}{2}$，解得a₁₁=1．
故选：A．

点评 本题考查数列的第11项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．