Question

【题目】已知函数 ，不等式 的解集为[-1，5]
（1）求实数 的值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）由f（x）≤3，得|x-a|≤3，

∴a-3≤x≤a+3，又f（x）≤3的解集为[-1，5]．

∴ ，解得：a=2；

（2）

∵f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5．

又f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，

∴m≤5．

【解析】（1）由f（x）≤3求解绝对值的不等式，结合不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]列式求得实数a的值；（2）利用绝对值的不等式放缩得到f（x）+f（x+5）≥5，结合f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，即可求得实数m的取值范围．