Question

 

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点。

（1）求证：直线MF∥平面ABCD；

（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

（3）求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN。

因为F是BB₁的中点，所以F为C₁N的中点，B为CN的中点

又因为M是线段AC₁的中点，故MF∥AN

又∵MF平面ABCD，AN平面ABCD

∴MF∥平面ABCD

（2）连接BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，可知：

A₁A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A₁A⊥BD

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD

又∵AC∩A₁A=A，AC，A₁A平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁

在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，所以四边形DANB为平行四边形

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁

又∵NA平面AFC₁，∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁

（3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁

∵BD∥NA，∴AC₁⊥NA

又由BD⊥AC可知NA⊥AC

∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角

在Rt△C₁AC中，，故∠C₁AC＝30°

平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。

（说明：求对一个角即给满分）