Question

2．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{2}$-x）+2$\sqrt{3}$sin（π-x）cosx
（1）求函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（2）在△ABC中，C＞$\frac{π}{6}$，若f（c）=1+$\sqrt{3}$，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求A．

Answer 1

分析 利用诱导公式，倍角公式及辅助角公式，可将函数f（x）的解析式化为2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
（1）根据正弦函数的单调性及x∈[-π，π]，可得函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（2）由△ABC中，C＞$\frac{π}{6}$，若f（c）=1+$\sqrt{3}$，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），先求出C，进而可求出A．

解答 解：∵函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{2}$-x）+2$\sqrt{3}$sin（π-x）cosx
=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
（1）由2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，（k∈Z）得：
2x∈[$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{4π}{3}$+2kπ]，（k∈Z），
即x∈[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，（k∈Z）：
又由x∈[-π，π]得，
函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间为[$-\frac{5π}{6}$，$-\frac{π}{3}$]和[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
（2）由（1）知f（C）=2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=1+$\sqrt{3}$，
则sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由C＞$\frac{π}{6}$，故2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，解得：C=$\frac{π}{4}$
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，
∴sinB=sinAsinC，
即sin（$\frac{3π}{4}$-A）=sinAsin$\frac{π}{4}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA，
即cosA=0，则A=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，解三角形，难度中档．