Question

4．中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．
三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：

	中国结（个）	记事本（本）	笔袋（个）	合计（元）
小组A	2	1	0	10
小组B	1	3	1	10
小组C	0	5	2	30

为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．

Answer 1

分析 设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设列出方程组，由系数行列式D=0，得方程组有无穷多组解或无解，再由D_x，D_y，D_z均不为0，得到该方程组无解．

解答 （本题满分12分）
解：设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，
由题设有$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y=10}\\{x+3y+z=10}\\{5y+2z=30}\end{array}}\right.$，
∵$D=|{\begin{array}{l}2&1&0\\ 1&3&1\\ 0&5&2\end{array}}|=0$，∴方程组有无穷多组解或无解，
又${D_x}=|{\begin{array}{l}{10}&1&0\\{10}&3&1\\{30}&5&2\end{array}}|=20≠0$，${D_y}=|{\begin{array}{l}2&{10}&0\\ 1&{10}&1\\ 0&{30}&2\end{array}}|=-40≠0$，${D_z}=|{\begin{array}{l}2&1&{10}\\ 1&3&{10}\\ 0&5&{30}\end{array}}|=100≠0$，
∴该方程组无解．

点评 本题考查行列式知识的应用，是基础题，解题时要注意系数行列式在解线性方程组时的合理运用．