Question

19．已知函数f （x）及其导数f′（x），若存在x₀，使得f （x₀）=f′（x₀），则称x₀是f （x）的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是①②③⑤．（填上所有正确的序号）
①f （x）=x²，
②f（x）=sinx，
③f （x）=lnx，
④f （x）=tanx，
⑤f（x）=x+$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，使f（x）=f′（x），如果有解，则存在存在“巧值点”．

解答 解：对于①中的函数f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，
解得x=0或2，∴函数有巧值点，故①正确；
对于②中的函数，f（x）=sinx，f′（x）=cosx，要使f（x）=f′（x），则sinx=cosx，
解得x=45°+k•360°，k∈Z或x=225°+k•360°，k∈Z，∴函数有巧值点，故②正确；
对于③中的函数，f （x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，要使f（x）=f′（x），则lnx=$\frac{1}{x}$，
由函数f（x）=lnx与y=$\frac{1}{x}$的图象它们有交点，因此方程有解，∴函数有巧值点，故③正确；
对于④中的函数，f （x）=tanx，${f}^{'}（x）=\frac{1}{co{s}^{2}x}$，要使f（x）=f′（x），
则tanx=$\frac{1}{co{x}^{2}x}$，即sinxcosx=1，即sin2x=2，无解，∴原函数没有巧值点，故④错误；
对于⑤中的函数，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，${f}^{'}（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$，要使f（x）=f′（x），
则x+$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x³-x²+x+1=0，
设函数g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
∴函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．

点评 本题考查函数是否存在“巧值点”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．