Question

【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16．

（1）求数列{an}的前n项和Sn；

（2）设Tn＝(－1)iai，若对一切正整数n，不等式 λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 恒成立，求实数 λ 的取值范围；

（3）是否存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1，Sn ＝n2（2）－4＜λ＜2（3）不存在

【解析】分析：（1）根据等差通项列式先求出首先和公差即可；（2）因为有(－1)n＋1an，所以要分奇偶：①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·2k＜4k，从而λ＜．分析其最小值即可；②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，从而λ＞－4k．分析其最大值即可，综合即可得出结论；（3）)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列，则(Sm－S2)2＝S2·(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，分解因式找出矛盾即得出不存在.

详解：

(1)设数列{an}的公差为d．

因为2a5－a3＝13，S4＝16，

所以解得a1＝1，d＝2，

所以an＝2n－1，Sn ＝n2．

(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，

则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·2k＜4k，从而λ＜．

设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝．

因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，

所以λ＜2．

②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，

则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，

从而λ＞－4k．

因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4．

综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2．

(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列，

则(Sm－S2)2＝S2·(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，

所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，

即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12．

因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15．

因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，

故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列．