Question

8．正方形ABCD与正方形ABEF互相垂直，点M，N，G分别是AE，BC，CE的中点，AB=2．
（1）求证：MN∥平面EFDC；
（2）求证：BE⊥MG；
（3）求多面体A-EFDC的体积．

Answer 1

分析 （1）由M，N分别为BF，BC的中点，结合中位线定理得MN∥CF，再由线面平行的判断得答案；
（2）由平面ABCD⊥平面ABEF，可得BE⊥AB，进一步得到BE⊥AC，再由中位线定理得到MG∥AC，则BE⊥MG；
（3）由题意可得平面EFDC⊥平面AFD，过A作AH⊥DF交DF于H，可得AH⊥平面EFDC，解直角三角形求得AH=$\sqrt{2}$，代入三棱锥的体积公式求得多面体A-EFDC的体积．

解答 （1）证明：连接BF，则M，N分别为BF，BC的中点，∴MN∥CF，
而CF?平面EFDC，MN?平面EFDC，
∴MN∥平面EFDC；
（2）证明：如图，

∵平面ABCD⊥平面ABEF，BE⊥AB，∴BE⊥平面ABCD，则BE⊥AC，
由M，G分别为AE，CE的中点，可得MG∥AC，∴BE⊥MG；
（3）解：由题意可得，平面EFDC⊥平面AFD，
又AD=AF，且∠DAF=90°，过A作AH⊥DF交DF于H，
∴AH⊥平面EFDC，在Rt△DAF中，由AD=AF=2，可得AH=$\sqrt{2}$，
∴V_A-EFDC=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}\sqrt{2}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．