Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，2sinx），$\overrightarrow{b}$=（sinx-cosx，$\sqrt{3}$cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的最小正周期和函数图象的对称轴方程；
（2）若f（α）=1，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）首先由已知数量积公式求出f（x），然后利用倍角公式化简解析式为最简形式，利用正弦函数的性质求周期和对称轴；
（2）利用（1）的结论求出cos（2$α-\frac{π}{6}$）=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，分两种情况求sin2α的值．

解答 解：由已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，2sinx），$\overrightarrow{b}$=（sinx-cosx，$\sqrt{3}$cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin²x-cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（1）T=$\frac{2π}{2}=π$，对称轴方程为2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，所以x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，k∈Z…（2分）
（2）由（1）得sin（2$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，所以cos（2$α-\frac{π}{6}$）=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当cos（2α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，
sin（2α）=sin[（2α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$…（3分）
当cos（2α-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$时
sin2α=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}$=0…（2分）

点评 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及利用倍角公式化简三角函数式，利用正弦函数的性质求周期等；关键是正确化简变形．