Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ2=

36	4cos2θ+9sin2θ

；
（Ⅰ）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

得4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式即可得出．
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），则3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin(θ+φ)，可知当sin（θ+φ）=1时，3x+4y取得最大值．

解答：解：（Ⅰ）由ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

得4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：4x²+9y²=36．
化为

x2

9

+

y2

4

=1，
∴曲线C的直角坐标方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），
则3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin(θ+φ)，
∵θ∈R，
∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为

145

．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、椭圆的参数方程的应用，属于中档题．