Question

如图，直角三角形ABC的顶点A的坐标为（-1，0），直角顶点B的坐标为(0，-

3

)，顶点C在x轴上．求：
（1）求点C的坐标及△ABC的外接圆M的方程；
（2）设△ABC的外接圆M的圆心为点M，另有一个定点N（-3，-4），作出一个以MN为直径，G为圆心的圆，记为圆G，圆M和圆G交于点P和点Q，直线NP，NQ是圆M的切线吗？请说明理由；
（3）求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）求出直线BC的方程，可得点C的坐标，根据△ABC为直角三角形，确定△ABC的外接圆M的圆心与半径，从而可求方程；
（2）求出圆G的方程，利用切线的定义，即可得到结论；
（3）两圆方程相减，可得直线PQ的方程．

解答：解：（1）由题意可知：kAB=-

3

，∴kBC=

3

3

，
直线BC的方程为：y+

3

=

3

3

(x-0)，令y=0，则x=3，所以点C的坐标为（3，0），
∵△ABC为直角三角形，∴△ABC外接圆的圆心为线段AC的中点M（1，0），半径为

1

2

|AC|=2，
∴圆M的方程为：（x-1）²+y²=4；
（2）∵M（1，0），N（-3，-4）
∴线段MN的中点为G（-1，-2），|MN|=4

2

∴圆G的方程为：（x+1）²+（y+2）²=8
∵MN为圆G的直径，P，Q为圆G上的点
∴PM⊥PN，QM⊥QN
∴直线NP，NQ是圆M的切线；
（3）∵圆M的方程为：（x-1）²+y²=4，圆G的方程为：（x+1）²+（y+2）²=8，
∴两圆方程相减，可得直线PQ的方程为x+y=0．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．