Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）．
（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设函数 ，若对任意x1 ， x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）的图象是开口朝上，且以直线x= 为对称轴的抛物线，

若f（x）在区间[1，2]为单调增函数

则 ，

解得：

（2）解：①当0＜ ＜1，即a＞ 时，f（x）在区间[1，2]上为增函数，

此时g（a）=f（1）=3a﹣2

②当1≤ ≤2，即 时，f（x）在区间[1， ]是减函数，在区间[ ，2]上为增函数，

此时g（a）=f（ ）= ）

③当 ＞2，即0＜a＜ 时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，

此时g（a）=f（2）=6a﹣3

综上所述：

（3）解：对任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，

即f（x）min≥h（x）max，

由（2）知，f（x）min=g（a）

又因为函数 ，

所以函数h（x）在[1，2]上为单调减函数，所以 ，

①当 时，由g（a）≥h（x）max得： ，解得 ，（舍去）

②当 时，由g（a）≥h（x）max得： ，即8a2﹣2a﹣1≥0，

∴（4a+1）（2a﹣1）≥0，解得

所以

③当 时，由g（a）≥h（x）max得： ，解得 ，

所以a

综上所述：实数a的取值范围为

【解析】（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，则根据题意a＞0，只需二次函数的对称轴在区间的左侧即可，列出不等式可解得a的取值范围，（2）分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析出各种情况下g（x）的表达式，综合讨论结果，可得答案，（3）不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，

即f（x）min≥h（x）max，分类讨论各种情况下实数a的取值，综合讨论结果，可得答案.

【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义和二次函数的性质，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．