Question

设函数f（x）=x²+|x-a|，g（x）=

a

x

．
（1）当a=0时，解关于x的不等式f（x）＞2；
（2）求函数f（x）的最小值；
（3）若?t∈（0，2），?x∈R使f（x）=g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=0时，根据一元二次不等式的解法即可解关于x的不等式f（x）＞2；
（2）讨论a的取值范围结合一元二次函数的性质即可求函数f（x）的最小值；
（3）求出函数的最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x²+|x|＞2，
即x²+|x|-2＞0，
解得（|x|-1）（|x|+2）＞0，
即|x|-1＞0，
解得x＞1或x＜-1，
即不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）当x≥a，f（x）=x²+x-a=（x+

1

2

）²-a-

1

4

，
当x＜a，f（x）=x²-x+a=（x-

1

2

）²+a-

1

4

，
若a≥

1

2

时，x≥a，则f（x）_min=f（a）=a²，x＜a时，f（x）_min=f（

1

2

）=a-

1

4

＜a²，∴f（x）_min=a-

1

4

．
当-

1

2

≤a≤

1

2

时，x≥a，则f（x）_min=f（a）=a²，x＜a时，f（x）＞f（a）=a²，∴f（x）_min=a²．
当a＜-

1

2

时，x≥a，f（x）_min=f（-

1

2

）=-a-

1

4

，x＜a时，f（x）＞f（a）=a²＞-a-

1

4

＜a²，
∴f（x）_min=-a-

1

4

．
综上，a≥

1

2

时，f（x）_min=a-

1

4

．
当-

1

2

≤a≤

1

2

时，f（x）_min=a²．
当a＜-

1

2

时，f（x）_min=-a-

1

4

．
（3）由题意得，函数g（t），t∈（0，2）的值域包含于函数f（x）的值域，因为恒有f（x）＞0
则g（t）=

a

t

＞0，t∈(0，2)，则a＞0，且g（t）=

a

t

是减函数，
则g（t）＞

a

2

，
若a≥

1

2

时由

a

2

≥a-

1

4

．解得a≤

1

2

，此时a=

1

2

，
若0＜a＜

1

2

时，

a

2

≥a²，解得a＜

1

2

，
综上0＜a≤

1

2

．

点评：本题主要考查不等式的求解以及一元二次函数最值的应用，综合性较强，注意求解过程中要注意分类讨论．