Question

【题目】已知椭圆C： =1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点N．
（1）设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（2）设 =λ ， =μ ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设点N（0，n），则MN的中点为（﹣ ， ），

∴ + =1，解得n=± ，

所以直线l的方程为：y=± （x+1）

（2）

解：由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，可设直线方程为x=ty﹣1，

A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣ ），

由 =λ ， =μ ，可得y1+ =λ（0﹣y1），

y2+ =μ（0﹣y2），

联立 ，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，

所以y1+y2= ，y1y2=﹣ ．

得λ=﹣1﹣ ，同理可得μ=﹣1﹣ ，

所以λ+μ=﹣2﹣ （ + ）=﹣2﹣ （ ）=﹣2﹣ =﹣ ．

故λ+μ为定值﹣

【解析】（1）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；（2）直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为x=ty﹣1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（﹣1，0），N（0，﹣ ），联立 ，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韦达定理，以及向量共线的坐标可得λ=﹣1﹣ ，同理可得μ=﹣1﹣ ，然后化简即可．