Question

（文科）已知函数f(x)=ax3+

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x2-2x+c，在点(-

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3

，f(-

1

3

))的切线与直线y=-2x+1平行，且函数的图象过原点；
（1）求f（x）的解析式及极值；
（2）若g(x)=

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bx2-x+d，是否存在实数b，使得函数g（x）与f（x）的两图象恒有三个不同的交点，且其中一个交点的横坐标为-1？若存在，求出实数b的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导数，f'（x）=3ax²+x-2，根据过点(-

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，f(-

1

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))的切线与直线y=-2x+1平行，可得f(-

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3

)=3a•

1

9

-

1

3

-2=-2，从而可求a的值；根据函数的图象过原点，可得c=0，从而可求f（x）的解析式；
利用导数确定函数的单调性，从而可求函数的极值；
（2）由（1）知f（x）=x3+

1

2

x2-2x，又已知三个交点中有一个横坐标为-1，则有(-1)3+

1

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(-1)2+2=

1

2

b+1+d⇒d=-

1

2

(b-1)，从而方程x3+

1

2

(1-b)x2-x+

1

2

(b-1)=0，恒有含x=-1的三个不等实根．进而有方程x2-

1

2

(b+1)x+

1

2

(b-1)=0有两个异于x=-1的不等式的根，故可求实数b的取值范围．

解答：解：（1）由题对f（x）求导得，f'（x）=3ax²+x-2
∵过点(-

1

3

，f(-

1

3

))的切线与直线y=-2x+1平行，
∴f(-

1

3

)=3a•

1

9

-

1

3

-2=-2⇒a=1，
又∵函数的图象过原点，
∴f（0）=0⇒c=0，∴f（x）=x3+

1

2

x2-2x
∴f′（x）=3x²+x-2
令f′（x）=0得x=

2

3

或x=-1，
则有x∈(-∞，-1)，x∈(

2

3

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）递增，
当x∈(-1，

2

3

)时，f'（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）_极大值=f(-1)=

3

2

，f（x）_极小值=f(

2

3

)=-

22

27

（2）由（1）知f（x）=x3+

1

2

x2-2x，又已知三个交点中有一个横坐标为-1，
则有(-1)3+

1

2

(-1)2+2=

1

2

b+1+d⇒d=-

1

2

(b-1)①
∴方程为x3+

1

2

x2-2x=

1

2

bx2-x-

1

2

(b-1)
即：x3+

1

2

(1-b)x2-x+

1

2

(b-1)=0，恒有含x=-1的三个不等实根．
运用待定系数法得：x3+

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(1-b)x2-x+

1

2

(b-1)=(x+1)(x3-

1

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(b+1)x+

1

2

(b-1))=0
∴方程x2-

1

2

(b+1)x+

1

2

(b-1)=0有两个异于x=-1的不等式的根．
∴

△= 1 4 (b+1)2-4× 1 2 (b-1)＞0 (-1)2+ 1 2 (b+1)+ 1 2 (b-1)≠0

∴b≠-1，且b≠3
故实数b的取值范围是（-∞，-1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查方程根的讨论，考查学生分析解决问题的能力，等价转化是关键．