Question

15．如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，且AD=DC=PA=$\frac{1}{2}$AB=1
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由；
（3）若点M是由（2）中确定的，且PA⊥AB，求四面体MPAC的体积．

Answer 1

分析 （1）（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，则四边形ADCE是正方形．△BCE为等腰直角三角形，得出BC⊥AC，已知BC⊥PC，故BC⊥平面PAC；
（2）当M为PB中点时，CM∥平面PAD，取AP中点F，连接CM，FM，DF，可易证四边形CDFM为平行四边形，推出CM∥DF，故CM∥平面PAD．
（3）因为M为PB中点，可得V_棱锥M-PAC=$\frac{1}{2}$V_棱锥B-PAC，利用勾股定理可解得BC，AC的长度，代入体积公式计算出体积．

解答 解：（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，
∵AD⊥AB，CD∥AB，AD=DC，
∴四边形ADCE是正方形． 
∴∠ACD=∠ACE=45°．
又∵AE=CD=$\frac{1}{2}$AB，∴BE=AE=CE．
∴∠BCE=45°．∴∠ACB=90°．∴AC⊥BC．     
又∵BC⊥PC，AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC．             
（2）当M为PB中点时，CM∥平面PAD．    
证明：取AP中点F，连接CM，FM，DF．
则FM∥AB，且FM=$\frac{1}{2}AB$，∵CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴FM∥CD，FM=CD．
∴四边形CDFM为平行四边形，∴CM∥DF．
∵DF?平面PAD，CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD．
（3）由（1）知，BC⊥平面PAC，M为PB中点，
所以点M到平面PAC的距离等于$\frac{1}{2}$BC，V_棱锥M-PAC=$\frac{1}{2}$V_棱锥B-PAC．     
在三角形ABP中，∵PA⊥AB，∴PB=$\sqrt{5}$，∴PC=$\sqrt{3}$，∵AC=$\sqrt{2}$，PA=1，∴△PAC是直角三角形，
S_△PAC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴V_棱锥M-PAC=$\frac{1}{2}$V_棱锥B-PAC=$\frac{1}{6}$S_△PAC•BC=$\frac{1}{6}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直，线面平行的判定和几何体体积计算，属于中档题．