Question

设△ABC的三内角为A、B、C，且满足4cos2

A

2

-cos2(B+C)=

7

2

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当|x|≤A时，求函数f(x)=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin2x的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形内角和把cos2（B+C）转化成cos2A，把题设等式转化成关于cosA的一元二次方程求得cosA，进而根据A的范围求得A．
（Ⅱ） 根据x的范围求出角2x-

π

3

的范围，利用两角差的正弦公式化简函数解析式为 

3

4

+

1

2

 sin（-

π

3

+2x），
求出sin（-

π

3

+2x）的范围，可得函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，∵A+B+C=π，∴4cos2

A

2

-cos2(B+C)=2+2cosA-cos2A 
=-2cos²A+2cosA+3=

7

2

，∴cosA=

1

2

，∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
（Ⅱ） 当x∈[-

π

3

，

π

3

]时，函数f(x)=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin2x=

3

4

+

1

4

sin2x-

3

4

cos2x
=

3

4

+

1

2

 sin（-

π

3

+2x），由-π≤2x-

π

3

≤

π

3

，可得-1≤sin（-

π

3

+2x）≤

3

2

，
∴

3 -2

4

≤f（x）≤

3

2

，即函数的值域为[

3 -2

4

，

3

2

]．

点评：本题主要考查二倍角公式，两角差的正弦公式的应用，根据x的范围求出角2x-

π

3

的范围以及sin（-

π

3

+2x）的范围，
是解题的难点．