Question

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，已知向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，若不等式|

MN

|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x-

1

x

在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为

k≥

3

2

-

2

．

Answer 1

分析：先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题．

解答：解：由题意，M、N横坐标相等，|

MN

|≤k恒成立，即|

MN

|max≤k，
由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，

3

2

），
∴直线AB方程为y=

3

2

（x-1）
∴|

MN

|=y₁-y₂=x-

1

x

-

3

2

（x-1）=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

（当且仅当x=

2

时，取等号）
∵x∈[1，2]，∴x=

2

时，|

MN

|max=

3

2

-

2

∴k≥

3

2

-

2

故答案为：k≥

3

2

-

2

点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．