已知各项均为正数的数列{a}满足a
=2a
+a
a
,且a
+a
=2a
+4,其中n∈N
.
(Ⅰ)若b=
,求数列{b
}的通项公式;
(Ⅱ)证明:+
+…+
>
(n≥2).
(1)b=
(n∈N
)
(2)构造函数借助于函数的最值来证明不等式。
解析试题分析:解:(Ⅰ)因为a=2a
+a
a
,即(a
+a
)(2a
-a
)=0. 1分
又a>0,所以有2a
-a
=0,即2a
=a
所以数列是公比为2的等比数列, 3分
由得
,解得
。
从而,数列{a}的通项公式为a
=2
(n∈N
),即:b
=
(n∈N
). 5分
(Ⅱ)构造函数f(x)=-
(b
-x)(x>0),
则f′(x)=-
+
=
,
当0<x<b时,f′(x)>0,x>b
时,f′(x)<0,
所以f(x)的最大值是f(b)=
,所以f(x)≤
. 7分
即≥
-
(b
-x)(x>0,i=1,2,3…n),取“=”的条件是x=b
(i=1,2,3…n),
所以+
+…+
>
-
(b
+b
+…+b
-nx), 9分
令x=,则
+
+…+
>
,
所以+
+…+
>
, 11分
即+
+…+
>
(n≥2). 12分
考点:数列与导数、不等式
点评:解决的关键是能利用等比数列来求解通项公式,同时能结合导数来拍脑袋函数单调性,以及求解函数的最值,同时证明不等式,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(文科只做(1)(2)问,理科全做)
设是函数
图象上任意两点,且
,已知点
的横坐标为
,且有
,其中
且n≥2,
(1) 求点的纵坐标值;
(2) 求,
,
及
;
(3)已知,其中
,且
为数列
的前n项和,若
对一切
都成立,试求λ的最小正整数值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列的前
项和为
,满足
,且
依次是等比数列
的前两项。
(1)求数列及
的通项公式;
(2)是否存在常数且
,使得数列
是常数列?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)已知f (x)=mx(m为常数,m>0且m≠1).设f (a1),f (a2),…,f (an),…(n∈N)是首项为m2,公比为m的等比数列.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若bn=an f (an),且数列{bn}的前n项和为Sn,当m=3时,求Sn;
(3)若cn= f(an) lg f (an),问是否存在m,使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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