Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若函数在上单调，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)1；(2) .

【解析】试题分析：

(1)由题意求得导函数，结合函数的单调性可得函数的最小值为f(1)=1；

(2)首先求解导函数，然后分类讨论函数单调递增和单调递减两种情况可得实数的取值范围是.

试题解析：

(1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),

当a=2时,f'(x)=2x-,

由f'(x)<0得0<x<1,故f(x)的单调递减区间是(0,1).

由f'(x)>0得x>1,故f(x)的单调递增区间是(1,+)

所以函数的最小值为f(1)=1

(2)由题意得g'(x)=2x-,函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数.

①若g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,

即a2x2在[1,+∞)上恒成立,

设φ(x)=2x2,

∵φ(x)在[1,+∞)上单调递增,∴φ(x)min=φ(1)=0,∴a≤0.

②若g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则g'(x)≤0即a2x2由①知φ(x)=2x2在[1,+∞)上单调增，x趋向于无穷大时φ(x)趋向于无穷大，φ(x)无最大值,故不可能.

综上所述，a的取值范围为a≤0.