Question

5．设函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．
（Ⅰ）当m=-1，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=-1，化简不等式，通过x的范围，取得绝对值符号，求解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当m=-1时，不等式f（x）≤3，可化为|x-1|+|2x+1|≤3．
当$x≤-\frac{1}{2}$时，-x+1-2x-1≤3，∴x≥-1，∴$-1≤x≤-\frac{1}{2}$；                （1分）
当$-\frac{1}{2}＜x＜1$时，-x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴$-\frac{1}{2}＜x＜1$；               （2分）
当x≥1时，x-1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；                             （3分）
综上所得，-1≤x≤1．（4分）
（Ⅱ）$f（x）=|{x+m}|+|{2x+1}|=|{x+m}|+|{x+\frac{1}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|$（5分）
$≥|{（{x+m}）-（{x+\frac{1}{2}}）}|+|{x+\frac{1}{2}}|$（6分）
=$|{m-\frac{1}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|$，当且仅当$（{x+m}）（{x+\frac{1}{2}}）≤0$时等号成立．（7分）
又因为$|{m-\frac{1}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|≥|{m-\frac{1}{2}}|$，当且仅当$x=-\frac{1}{2}$时，等号成立．（8分）
所以，当$x=-\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值$|{m-\frac{1}{2}}|$．（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查函数的最值的求法．