Question

（1）试画出由方程

lg(6-x)+lg(x-2)+lo g   1 10 (x-2)

lg2y

=

1

2

所确定的函数y=f（x）图象．
（2）若函数y=ax+

1

2

与y=f（x）的图象恰有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过方程确定x，y的范围，然后化简方程为函数画出函数的图象即可．
（2）通过直线y=ax+

1

2

经过点A（2，8）时，直线y=ax+

1

2

经过点B(5，

1

2

)时，求出a的范围，说明直线y=ax+

1

2

与f（x） 的图象也恰有一个公共点．直线y=ax+

1

2

与上述抛物线BC弧有一切点，求出a．

解答：解：（1）易知x∈（2，6），y≠

1

2

．原方程可变为lg（6-x）=

1

2

lg2y，由此得y=

1

2

（x-6）²．注意到y≠

1

2

，
故函数y=f（x）=

1

2

（x-6）²，x∈（2，5）∪（5，6），其中图象是抛物线的一部分．
（2）当直线y=ax+

1

2

经过点A（2，8）时，a=

15

4

，当直线
y=ax+

1

2

经过点B(5，

1

2

)时，a=0，故当0＜a＜

15

4

时
与抛物线的AB弧恰有一个公共点．
同理，当-

1

12

≤a＜0时，直线y=ax+

1

2

与f（x） 的图象也恰有一个公共点．
此外，直线y=ax+

1

2

与上述抛物线BC弧有一切点，其横坐标为

35

，此时a=

35

-6．
综上所述，a的取值范围为[-

1

12

，0)∪(0，

15

4

)∪{

35

-6}．

点评：本题考查函数的图象，函数与方程关系，函数的定义域与值域，分类讨论思想与数形结合知识，考查分析问题解决问题的能力，容易出现定义域遗漏，直线与方程的交点讨论不全的情况．