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设函数,其中为正整数,均为常数,曲线处的切线方程为.
(1)求的值;     
(2)求函数的最大值;
(3)证明:对任意的都有.(为自然对数的底)
(1);(2);(3)见解析.

试题分析:(1)在切点处的的函数值 ,就是切线的斜率为,可得;根据切点适合切线方程、曲线方程,可得.
(2)求导数,求驻点,讨论区间函数单调性,确定最值.
(3)本小题有多种思路,一是要证对任意的都有只需证
二是令,利用导数确定
转化得到
,证明
(1)因为,                     1分
所以 ,又因为切线的斜率为,所以       2分
,由点(1,c)在直线上,可得,即        3分
                               4分
(2)由(1)知,,所以
,解得,即在(0,+上有唯一零点       5分
当0<<时,,故在(0,)上单调递增;          6分
>时,,故在(,+上单调递减;           7分
在(0,+上的最大值===     8分
(3)证法1:要证对任意的都有只需证
由(2)知在有最大值,= ,故只需证   9分
,即 ①                      11分
,则,①即 ②               13分
,则
显然当0<t<1时,,所以在(0,1)上单调递增,
所以,即对任意的 ②恒成立,
所以对任意的都有    14分
证法2:令,则.           10分
时,,故上单调递减;
而当时,,故上单调递增.
上有最小值,
,即.                        12分
,得,即,所以,即.
由(2)知,,故所证不等式成立.                14分
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