Question

无论a取何值，函数y=a^x-2（a＞0，且a≠1）的图象过定点A，而A在直线mx+ny-2=0上（m＞0，n＞0），则

2

n

+

1

m

的最小值为

4

．

Answer 1

分析：依题意，可求得A（2，1），将其代入直线方程mx+ny-2=0，利用基本不等式即可求得

2

n

+

1

m

的最小值．

解答：解：∵函数y=a^x-2（a＞0，且a≠1）的图象过定点A（2，1），
又点A（2，1）在直线mx+ny-2=0上（m＞0，n＞0），
∴2m+n=2，（m＞0，n＞0），
∴

2

n

+

1

m

=（

2

n

+

1

m

）•

1

2

（2m+n）=

1

2

（

4m

n

+2+2+

n

m

）≥

1

2

×（4+2

4m n • n m

）=

1

2

（4+4）=4（当且仅当m=

1

2

，n=1时取“=”）．
∴

2

n

+

1

m

的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查基本不等式，考查曲线恒过定点问题，考查转化与整体代入思想，属于中档题．