Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点F₁，F₂距离为4，直线了l₁：x=-

a2

c

与x轴交于点Q（-3，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A，B两点，求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线l上有两个不重合的动点C，D，求以CD为直径且过点F₁的所有圆中，面积最小的圆的半径长．

Answer 1

分析：（I）由题意可得

2c=4 - a2 c =-3 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线l的方程为y=

3

3

(x+3)，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用数量积只要证明

F1A

•

F1B

=0即可；
（III）利用点到直线的距离公式得出：点F₁到直线ly=

3

3

(x+3)距离d，并以d=r得到的圆的面积最小．

解答：解：（I）由题意可得

2c=4 - a2 c =-3 a2=b2+c2

，解得a²=6，b²=2，c=2．
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（II）直线l的方程为y=

3

3

(x+3)，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y= 3 3 (x+3) x2 6 + y2 2 =1

，化为2x²+6x+3=0，可得△＞0．
∴x₁+x₂=-3，x1x2=

3

2

．
∵

F1A

•

F1B

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+

1

3

(x1+3)(x2+3)
=

4

3

x1x2+3(x1+x2)+7=

4

3

×

3

2

+3×(-3)+7=0，
∴

F1A

⊥

F1B

．
∴点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上．
（III）点F₁到直线l：y=

3

3

(x+3)即x-

3

y+3=0的距离d=

|-2+3|

12+(- 3 )2

=

1

2

．
以r=

1 2

=

2

2

为半径的圆的面积最小．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积与向量垂直的关系、点到直线的距离公式、圆的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．