Question

8．如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB=$\frac{2π}{3}$，半径OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧$\widehat{AC}$，线段CD，线段DE和弧$\widehat{EB}$组成，且满足：$\widehat{AC}$=$\widehat{EB}$，CD∥AO．DE∥OB，OD∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]（单位：km），设∠AOC=θ．
（1）用θ表示CD的长度，并求出θ的取值范围；
（2）当θ为何值时，观赏道路最长？

Answer 1

分析 （1）根据三角形的角和边的关系，利用正弦定理，求得用θ表示OD和CD的长度，利用CD的取值范围，即可求得θ的取值范围；
（2）首先将道路长度L（θ）表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得θ=$\frac{π}{6}$时，观光道路最长．．

解答 解：（1）AC=EB，CD∥AO．DE∥OB，
∴∠AOD=$\frac{π}{3}$，
于是在△OCD中，OC=1，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，∠AOC=θ．∠COD=$\frac{π}{3}$-θ，
由正弦定理可知：$\frac{OD}{sin∠OCD}$=$\frac{CD}{sin∠COD}$=$\frac{OC}{sin∠CDO}$=2R，
$\frac{OD}{sinθ}$=$\frac{CD}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$=$\frac{OC}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
∵OD∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sinθ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜θ≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$，
故CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），（$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$），
（2）由（1）可知，观赏道理长L=2（$\widehat{AC}$+CD）=2θ+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），（$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$），
∴L=2θ+2cosθ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，
L′=2-2sinθ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosθ，
=2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cos（θ-$\frac{π}{3}$），
L′=0，得cos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$，θ=$\frac{π}{6}$，
∵当$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$时，$-\frac{π}{6}$＜θ-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{π}{12}$，
L′=2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cos（θ-$\frac{π}{3}$）＜0，
∴当θ=$\frac{π}{6}$时，L取得最大值，即观赏道路最长．

点评 本题考查解决了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系在实际生活中的应用，考查函数模型的构建，考查利用导数确定函数的最值，属于中档题．