Question

（2012•通州区一模）在直角坐标系中，点O为坐标原点，已知

OA1

=(-

1

4

，0)，

AiAi+1

=(2i-1，0)（i=1，2，3…，n，…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，且点B₁，B₂…B_n…在同一条曲线C上，那么曲线C的方程是

y²=3x；

；设点B_n（i=1，2，…n…）的横坐标是n（n∈N*）的函数f（n），那么f（n）=

(n-

1

2

)2

．

Answer 1

分析：根据

OA1

=(-

1

4

，0)，

AiAi+1

=(2i-1，0)（i=1，2，3…，n，…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，且点B₁，B₂…B_n…在同一条曲线C上，可得B_n横坐标、纵坐标的表达式，由此可得结论．

解答：解：设B_n（x，y），则
∵

AiAi+1

=(2i-1，0)（i=1，2，3…，n，…），
∴

OAi+1

-

OAi

=2i-1
∴

OAi+1

=

OA1

+（

OA2

-

OA1

）+…+

OAi+1

-

OAi

=-

1

4

+1+3+…+（2i-1）=-

1

4

+i²
∵△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，
∴x=

1

2

[-

1

4

+n²-

1

4

+（n-1）²]=(n-

1

2

)2，y=

3

2

[-

1

4

+n²+

1

4

-（n-1）²]=

3

2

（2n-1）
消去n得y²=3x．
∴曲线C的方程是y²=3x，f（n）=(n-

1

2

)2
故答案为：y²=3x，f（n）=(n-

1

2

)2

点评：本题主要考查向量在几何中的应用、考查抛物线的标准方程，考查运算求解能力，属于中档题．