Question

已知向量

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，函数f(x)=

m

•

n

，若f（x）相邻两对称轴间的距离为

π

2

（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，f（A）=1，△ABC的面积S=5

3

，b=4，求a．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式，化简得f(x)=2sin(2ωx+

π

6

)，结合三角函数的周期公式即可算出ω的值；
（2）由（1）的结论得f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，结合A为三角形的内角算出A=

π

3

，再根据△ABC的面积为5

3

，解出c=5．最后由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，即可算出边a的大小．

解答：解：（1）∵

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)，
∴f(x)=

m

•

n

=(cos2ωx-sin2ωx)+2

3

sinωxcosωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)，
又∵f（x）相邻两对称轴间的距离为

π

2

，
∴函数的周期T=

2π

2ω

=π，解之得ω=1；
（2）∵f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∴f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，得sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
又∵A∈（0，π），得2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
因此，△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

c=5

3

，所以c=5．
∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=16+25-2×4×5×cos

π

3

=21，
解得a=

21

（舍负）．

点评：本题以向量的数量积为载体，求函数f（x）的表达式，并依此解△ABC．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、三角形面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．