正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中,AB1⊥BC1.求证:AB1⊥CA1.
解析:方法1 如图,延长B1C1到D,使C1D=B1C1.连CD、A1D.因AB1⊥BC1,故AB1⊥CD;又B1C1=A1C1=C1D,故∠B1A1D=90°,于是DA1⊥平面AA1B1B.故AB1⊥平面A1CD,因此AB1⊥A1C. 方法2:如图,取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B,易证C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1⊥BD1,从而AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C. 说明:证明本题的关键是作辅助面和辅助线,证明线面垂直常采用下列方法: (1)利用线面垂直的定义; (2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线; (3)证明直线平行于平面的垂线; (4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面. |
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
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3 |
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科目:高中数学 来源: 题型:044
【注意:本题的要求是,参照标①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ).】
如图:在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AB==a,E,F分别是BB1,CC1上的点且BE=a,CF=2a.
(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;
(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.
(Ⅰ)证明:
①∵ BE=a,CF=2a,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD.
∴ △DBE∽△DCF
∴
②_____________________
∴ DB=AB.
③______________________
∴ DA⊥AC
④_______________________
∴ FA⊥AD
⑤_________________________
∴ 面AEF⊥面ACF.
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科目:高中数学 来源:数学教研室 题型:044
【注意:本题的要求是,参照标①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ).】
如图:在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AB==a,E,F分别是BB1,CC1上的点且BE=a,CF=2a.
(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;
(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.
(Ⅰ)证明:
①∵ BE=a,CF=2a,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD.
∴ △DBE∽△
∴
②_____________________
∴ DB=AB.
③______________________
∴ DA⊥AC
④_______________________
∴ FA⊥AD
⑤_________________________
∴ 面AEF⊥面ACF.
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科目:高中数学 来源:2009年高考数学文科(湖南卷) 题型:044
如图
3,在正三棱柱ABC-A1,B1,C1中,AB=4,AA1=,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E(Ⅰ)证明:平面A1DE⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值
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