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【题目】若二次函数y=f(x)的图象经过原点,且1≤f(﹣1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(﹣2)的范围.

【答案】解:因为y=f(x)的图象经过原点,所以可设y=f(x)=ax2+bx.于是
(I)
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
∴6≤4a﹣2b≤10,∴6≤f(﹣2)≤10,
所以f(﹣2)的取值范围是[6,10].
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,如图中的阴影部分.

因为f(﹣2)=4a﹣2b,
所以4a﹣2b﹣f(﹣2)=0表示斜率为2的直线系.
如图,当直线4a﹣2b﹣f(﹣2)=0过点A(2,1),B(3,1)时,
分别取得f(﹣2)的最小值6,最大值10.
即f(﹣2)的取值范围是:6≤f(﹣2)≤10.
解法三(利用方程的思想)
,∴
又f(﹣2)=4a﹣2b=3f(﹣1)+f(1),而
1≤f(﹣1)≤2,3≤f(1)≤4,①
所以3≤3f(﹣1)≤6.②
①+②得4≤3f(﹣1)+f(1)≤10,即6≤f(﹣2)≤10.
【解析】法一,先根据要求设出二次函数,可以利用基本不等式性质变形找出f(2)解决;法二,用数形结合思想,利用线性规划的方法求解;法三,利用方程思想反解a、b,利用f(﹣1)、f(1)来表示f(2)进而求解.

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甲口味糕点日销量

48

49

50

51

天数

20

40

20

20

乙口味糕点日销量

48

49

50

51

天数

40

30

20

10

以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率,假设这两种糕点的日销量相互独立.

(1)记该店这两种糕点每日的总销量为X份,求X的分布列

(2)早餐店为了减少浪费,提升利润,决定调整每天制作糕点的份数

①若产生浪费的概率不超过0.6,求n的最大值;

②以销售这两种糕点的日总利润的期望值为决策依据,在每天所制糕点能全部卖完与n=98之中选其一,应选哪个?

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