设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是 ．
【答案】
分析：分析我们已经知道公式（a+b）
3=a
3+3a
2b+3ab
2+b
3的正确性，现将此公式变形为a
3+b
3=（a+b）
3-3ab（a+b），将（a+b）
3与c
3再次利用立方公式分解，从而因式分解a
3+b
3+c
3-3abc，即可找出不等式a
3+b
3+c
3≥3abc成立的一个充要条件．
解答：解析 a
3+b
3+c
3-3abc
=（a+b）
3-3ab（a+b）+c
3-3abc
=[（a+b）
3+c
3]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a
2+b
2+c
2-ab-ac-bc）
=
（a+b+c）[（a-b）
2+（b-c）
2+（a-c）
2]，
而a、b、c不全相等?（a-b）
2+（b-c）
2+（a-c）
2＞0，
∴a
3+b
3+c
3≥3abc?a+b+c≥0．
故答案为：a+b+c≥0．
点评：此题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了立方公式的综合应用，说明公式是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
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