Question

已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，则f（x）在以下区间上是单调函数的是（　　）

• A、[-

  3

  5

  π，-

  1

  6

  π]
• B、[-

  7

  12

  π，-

  1

  3

  π]
• C、[-

  1

  6

  π，

  1

  3

  π]
• D、[0，

  1

  2

  π]

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得f（x）=2

3

sin（2x+

π

6

），根据正弦函数的图象和性质即可得解．

解答： 解：由题意知：y=3sin2x+acos2x=

9+a2

sin（2x+φ），
当x=

π

6

时函数y=3sin2x+acos2x取到最值±

9+a2

，
将x=

π

6

代入可得：3sin（2×

π

6

）+acos（2×

π

6

）=

3 3 +a

2

=±

9+a2

，
解得：a=

3

，
故f（x）=3sin2x+

3

cos2x=2

3

sin（2x+

π

6

），
由于[-

7

12

π，-

1

3

π]∈[-

5π

6

，-

π

3

]，根据正弦函数的图象可知函数在[-

7

12

π，-

1

3

π]上是单调递减的，
故选：B．

点评：本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查了三角函数的单调性，属于中档题．