【题目】如图,在梯形中,,,,,四边形是菱形,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由勾股定理可得,结合面面垂直的性质有.由菱形的性质可得,则平面,.
(Ⅱ)取的中点,连接,以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,据此计算可得平面的法向量,平面的法向量.
则二面角的平面角的余弦值,正切值为.
试题解析:
(Ⅰ)依题意,在等腰梯形中,,,
∵,∴即,
∵,∴,而,∴.
连接,∵四边形是菱形,∴,
∴,∵,∴.
(Ⅱ)取的中点,连接,因为四边形是菱形,且.
所以由平面几何易知,∵,∴.
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,各点的坐标依次为:,,,,,.
设平面和平面的法向量分别为,,
∵,.
∴由 ,令,则,
同理,求得.
∴,故二面角的平面角的正切值为.
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【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆()的左焦点为,离心率为,过点且垂直于长轴的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点的直线与椭圆相交于不同两点、,求面积的最大值.
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【题目】已知点在椭圆上, 为椭圆的右焦点, 分别为椭圆的左,右两个顶点.若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点,且线段的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与相交于点,证明: 三点共线.
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【题目】某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级,等级系数依次为1,2,3,…,8,其中为标准, 为标准.已知甲车间执行标准,乙车间执行标准生产该产品,且两个车间的产品都符合相应的执行标准.
(1)已知甲车间的等级系数的概率分布列如下表,若的数学期望E(X1)=6.4,求, 的值;
X1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
P | 0.2 |
(2)为了分析乙车间的等级系数,从该车间生产的火腿中随机抽取30根,相应的等级系数组成一个样本如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体,将频率视为概率,求等级系数的概率分布列和均值;
(3)从乙车间中随机抽取5根火腿,利用(2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准的概率.
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【题目】为探索课堂教学改革,江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式,在甲、乙两个平行班进行教学实验。为了解教学效果,期末考试后,分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计,得到如下茎叶图。记成绩不低于70分者为“成绩优良”。
(Ⅰ)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳,并说明理由;
(Ⅱ)构造一个教学方式与成绩优良列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
(附:,其中是样本容量)
独立性检验临界值表:
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