Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N^*）．
（1）求a的值；
（2）若数列{a_n}满足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（II）中的数列{a_n}，求证：a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3…）．

Answer 1

分析：（1）先求导，由

f′(0)=2n f(-4n)=0

，求出a．
（2）由题目中信息，得到数列{a_n}的递推关系式．再由累加法计算出数列{

1

an

}的通项公式，从而得到a_n的通项公式．
（3）由数学归纳法分步骤证明即可．

解答：解：（1）由已知，可得f'（x）=2ax+b，
∴

b=2n 16n2a-4nb=0.

解之得a=

1

2

．
（2）∵

1

a   n+1

=

1

a   n

+2n，
∴

1

a   n+1

-

1

a   n

=2n．
由

1

a   2

-

1

a   1

=2×1

1

a   3

-

1

a   2

=2×2

1

a   4

-

1

a3

=2×3

1

a   n

-

1

a   n-1

=2(n-1)，
累加得

1

a   n

-

1

4

=n2-n（n=2，3）．
∴an=

1

n(n-1)+ 1 4

=

4

(2n-1)2

（n=2，3）．
当n=1 时，

4

(2n-1)2

=4=a1
∴an=

4

(2n-1)2

（n=1，2，3）．
（3）当k=1时，由已知a₁=4＜5显然成立；
当k≥2时，ak=

1

k(k-1)+ 1 4

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

（k≥2）
则a₁+a₂+a₃+…+a_k＜4+[(1-

1

2

) +( 

1

2

-

1

3

)+… +(

1

k-1

-

1

k

)]=5-

1

k

＜5
综上，a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3）成立．

点评：本题综合了导数，数列和数学归纳法的知识点的考查，是高考中往往容易考查到的内容，在作答时也可以酌情按步骤给分．