Question

如图，P-AD-C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD=120°的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°．
（1）求证：平面PAE⊥平面PCD；
（2）试问在线段AB（不包括端点）上是否存在一点F，使得二面角A-PE-D的大小为45⁰？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明PA⊥面ABCD，可得PA⊥CD，再证明AE⊥CD，从而可得CD⊥平面PAE，利用面面垂直的判定，可得平面PAE⊥平面PCD；
（2）解法1：以A为坐标原点，AB、AE、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PFD的法向量

n1

=(1，

λ+1

3

，

λ

2

)，平面APF的法向量为

n2

=（0，1，0），利用二面角A-PE-D的大小为45°，结合向量的夹角公式，即可求得结论；
解法2：设AF=x，延长BA，过点D作BA延长线的垂线DH，垂足为H，过H作PF的垂线HO，O为垂足，再连接D0，可得∠HOD就为二面角A-PF-D的平面角，利用二面角A-PF-D的大小为45°，建立方程，即可求得结论．

解答：（1）证明：因为PA⊥AD，二面角P-AD-C是直二面角，所以PA⊥面ABCD，
因为DC?面ABCD，所以PA⊥CD．
连接AC，
因为ABCD为菱形，∠BAD=120°，所以∠CAD=60°，∠ADC=60°，
所以△ADC是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以AE⊥CD，
因为PA∩AE=A，所以CD⊥平面PAE，而CD?平面PCD，所以平面PAE⊥平面PCD．…（5分）
（2）解法1：以A为坐标原点，AB、AE、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

因为PA⊥面ABCD，所以∠PCA是PC与面ABCD所成角，所以∠PCA=45°，所以PA=AC=AB=2，
于是P（0，0，2），D（-1，

3

，0），

PD

=(-1，

3，-2

)．
设AF=λ，则0＜λ＜2，F（λ，0，0），所以

PF

=（λ，0，-2）．…（7分）
设平面PFD的法向量为

n1

=(x，y，z)，则有

n1

•

PD

=0，

n1

•

PF

=0，∴

-x+ 3y -2z=0 λx-2z=0

令x=1，则z=

λ

2

，y=

λ+1

3

，所以平面PFD的法向量为

n1

=(1，

λ+1

3

，

λ

2

)．
而平面APF的法向量为

n2

=（0，1，0）…（9分）
所以|cos＜

n1

，

n2

＞|=

2|λ+1|

7λ2+8λ+16

=

2

2

，
整理得λ²+8λ-8=0，解得λ=2

6

-4或λ=-2

6

-4舍去．…（11分）
因为0＜2

6

-4＜2，所以在AB上存在一点F，使得二面角A-PF-D的大小为45°，此时AF=2

6

-4．…（12分）
解法2：设AF=x，延长BA，过点D作BA延长线的垂线DH，垂足为H．
由于DH⊥AB，PA⊥DH，且PA∩AB=A，故DH⊥平面PAB…（6分）
过H作PF的垂线HO，O为垂足，再连接D0，可得：D0⊥PF，则∠HOD就为二面角A-PF-D的平面角．…（7分）
在Rt△ADH中，求得：AH=1，DH=

3

…（8分）
在Rt△FOD中，FH=AF+AH=x+1，OH=

2(1+x)

4+x2

…（9分）
在Rt△HOD中，当∠HOD=45°，则有：OH=DH，此时：

2(1+x)

4+x2

=

3

，解得：x=2

6

-4…（12分）
所以在AB上存在一点F，使得二面角A-PF-D的大小为45°，此时AF=2

6

-4．…（12分）

点评：本题考查线面垂直、面面垂直、考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．