Question

2．向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），其中θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的范围是（$\sqrt{3}$，3]．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标运算，求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，再利用三角函数的性质求出${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$的取值范围，即得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1+sinθ$\sqrt{3}$+cosθ），
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=（1+sinθ）²+${（\sqrt{3}+cosθ）}^{2}$
=1+2sinθ+sin²θ+3+2$\sqrt{3}$cosθ+cos²θ
=5+2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ
=5+4sin（θ+$\frac{π}{3}$）；
又θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴4sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈（-2，4]，
∴5+4sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈（3，9]，
即${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$∈（3，9]；
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|∈（$\sqrt{3}$，3]．
故答案为：（$\sqrt{3}$，3]．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了三角函数的化简求值问题，是综合性题目．