已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225.数列{bn}是等比数列,b3=a2+a3,b2b5=128(其中n=1,2,3,…).
(I)求数列{an}和{bn}的通项公式;(II)记cn=anbn,求数列cn前n项和Tn.
分析:(I)在数列{an}中,把已知条件用首项a1,公差d表示,联立方程可求a1和d;在数列{bn}中,用b1和公比q把已知表示,求出b1和公比q
(II)由(I)可知cn=(2n-1)•2n,利用错位相减求出数列的和
解答:解:(I)公差为d,
则
,
∴
故a
n=2n-1(n=1,2,3,…).
设等比数列b
n的公比为q,则
,∴b
3=8,q=2
∴b
n=b
3•q
n-3=2
n(n=1,2,3,…).
(II)∵c
n=(2n-1)•2
n∵T
n=2+3•2
2+5•2
3+…+(2n-1)•2
n2T
n=2
2+3•2
3+5•2
4+…+(2n-3)•2
n+(2n-1)•2
n+1作差:-T
n=2+2
3+2
4+2
5+…+2
n+1-(2n-1)•2
n+1=
2+-(2n-1)•2n+1=2+2
3(2
n-1-1)-(2n-1)•2
n+1=2+2
n+2-8-2
n+2n+2
n+1=-6-2
n+1(2n-3)
∴T
N=(2n-3)•2
n+1+6(n=1,2,3,…).
点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识,第二问,求前n项和的解法,要抓住它的结特征,一个等差数列与一个等比数列之积,乘以2后变成另外的一个式子,体现了数学的转化思想.