Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．数列{b_n}是等比数列，b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128（其中n=1，2，3，…）．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；（II）记c_n=a_nb_n，求数列c_n前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）在数列{a_n}中，把已知条件用首项a₁，公差d表示，联立方程可求a₁和d；在数列{b_n}中，用b₁和公比q把已知表示，求出b₁和公比q
（II）由（I）可知c_n=（2n-1）•2ⁿ，利用错位相减求出数列的和

解答：解：（I）公差为d，
则

a1+2d=5 15a1+15×7d=225

，
∴

a1=1 d=2

故a_n=2n-1（n=1，2，3，…）．
设等比数列b_n的公比为q，则

b3=8 b3 q •b3q2=128

，∴b₃=8，q=2
∴b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（II）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ∵T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2T_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
作差：-T_n=2+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

23(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1
=2+2³（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2ⁿ⁺²-8-2ⁿ⁺²n+2ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹（2n-3）
∴T_N=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以2后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想．